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Mathematik-Online-Lexikon:

Vollständigkeit

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Auf den reellen Zahlen ist die Ordnungsrelation $ \mbox{$(<)$}$ erklärt (`kleiner'). Wir erlauben uns, $ \mbox{$x > y$}$ für $ \mbox{$y < x$}$ zu schreiben, sowie $ \mbox{$x\leq y$}$ für ( $ \mbox{$x < y$}$ oder $ \mbox{$x = y$}$), und $ \mbox{$x\geq y$}$ für ( $ \mbox{$x > y$}$ oder $ \mbox{$x = y$}$).

Für sie gelten die folgenden Eigenschaften. Seien $ \mbox{$x,y,z\in\mathbb{R}$}$.

Wir führen formal zwei Elemente $ \mbox{$\infty$}$ ( $ \mbox{$= +\infty$}$) und $ \mbox{$-\infty$}$ ein, und setzen die Ordnungsrelation von $ \mbox{$\mathbb{R}$}$ fort auf $ \mbox{$\hat {\mathbb{R}} := \mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$}$ mittels $ \mbox{$-\infty < x < +\infty$}$ für alle $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$.

Sei $ \mbox{$M\subseteq \hat {\mathbb{R}}$}$ eine Teilmenge. Ein $ \mbox{$s\in\hat {\mathbb{R}}$}$ heißt obere (bzw. untere) Schranke von $ \mbox{$M$}$, falls für alle $ \mbox{$m\in M$}$ gilt, daß $ \mbox{$m\leq s$}$ (bzw. $ \mbox{$m\geq s$}$).

Jede solche Teilmenge hat eine kleinste obere Schranke, die als das Supremum $ \mbox{$\sup M$}$ von $ \mbox{$M$}$ bezeichnet wird. D.h., es ist $ \mbox{$\sup M$}$ eine obere Schranke von $ \mbox{$M$}$, und jede obere Schranke $ \mbox{$s$}$ von $ \mbox{$M$}$ erfüllt $ \mbox{$\sup M \leq s$}$.

Sie hat auch eine größte untere Schranke, die als das Infimum $ \mbox{$\inf M$}$ von $ \mbox{$M$}$ bezeichnet wird. D.h., es ist $ \mbox{$\inf M$}$ eine untere Schranke von $ \mbox{$M$}$, und jede untere Schranke $ \mbox{$s$}$ von $ \mbox{$M$}$ erfüllt $ \mbox{$s \leq \inf M$}$.

Die Existenz von Supremum und Infimum jeder Teilmenge von $ \mbox{$\hat{R}$}$ wird als die Vollständigkeit der reellen Zahlen bezeichnet.

Ist $ \mbox{$\sup M\in M$}$, so heißt das Supremum von $ \mbox{$M$}$ auch das Maximum von $ \mbox{$M$}$, geschrieben $ \mbox{$\max M := \sup M$}$.

Ist $ \mbox{$\inf M\in M$}$, so heißt das Infimum von $ \mbox{$M$}$ auch das Minimum von $ \mbox{$M$}$, geschrieben $ \mbox{$\min M := \inf M$}$.

Ist $ \mbox{$\sup M\in\mathbb{R}$}$, so heißt $ \mbox{$M$}$ nach oben beschränkt (z.B. durch $ \mbox{$\sup M$}$).

Ist $ \mbox{$\inf M\in\mathbb{R}$}$, so heißt $ \mbox{$M$}$ nach unten beschränkt (z.B. durch $ \mbox{$\inf M$}$).

Es ist $ \mbox{$\sup\mathbb{N}= +\infty$}$ (Archimedes).

Der Körper der komplexen Zahlen $ \mbox{$\mathbb{C}$}$ verfügt nicht über eine Ordnungrelation.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006