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Mathematik-Online-Lexikon:

Extrema und Wendepunkte

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Sei $ \mbox{$D\subseteq \mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$f:D\to\mathbb{R}$}$ gegeben. Die Funktion $ \mbox{$f$}$ hat bei $ \mbox{$x_0\in D$}$ ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum), falls es ein $ \mbox{$\varepsilon >0$}$ gibt mit $ \mbox{$f(x)\leq f(x_0)$}$ (bzw. $ \mbox{$f(x)\geq f(x_0)$}$) für alle $ \mbox{$x\in B_{\varepsilon }(x_0)\cap D$}$.

Die Funktion $ \mbox{$f$}$ hat bei $ \mbox{$x_0\in D$}$ ein globales Maximum (bzw. globales Minimum), falls $ \mbox{$f(x)\leq f(x_0)$}$ (bzw. $ \mbox{$f(x)\geq f(x_0)$}$) für alle $ \mbox{$x\in D$}$.

Die Funktion $ \mbox{$f$}$ hat bei $ \mbox{$x_0\in D$}$ ein lokales Extremum (bzw. globales Extremum), falls sie bei $ \mbox{$x_0$}$ ein lokales Maximum oder lokales Minimum (bzw. globales Maximum oder globales Minimum) hat.

Notwendiges Kriterium.

Sei $ \mbox{$x_0$}$ innerer Punkt von $ \mbox{$D$}$, und sei $ \mbox{$f:D\to\mathbb{R}$}$ zweimal differenzierbar in $ \mbox{$x_0$}$.

Die Funktion $ \mbox{$f(x)=x^4$}$ hat bei $ \mbox{$x_0=0$}$ ein (echtes) lokales Minimum, aber $ \mbox{$f''(x_0)=0$}$. Dies zeigt, daß die Ungleichungen nicht verschärft werden können.

Die Funktion $ \mbox{$f(x)=x^3$}$ erfüllt bei $ \mbox{$x_0=0$}$ das notwendige Kriterium $ \mbox{$f'(x_0)=0$}$ und $ \mbox{$f''(x_0)=0$}$, aber $ \mbox{$f$}$ besitzt in $ \mbox{$x_0$}$ weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum.

Die Funktion $ \mbox{$f(x)=x$}$ hat auf $ \mbox{$D=[0,1]$}$ bei $ \mbox{$x_1=0$}$ ein lokales Minimum. Da $ \mbox{$x_1$}$ kein innerer Punkt von $ \mbox{$D$}$ ist, liefert das notwendige Kriterium keine Aussage.

Hinreichendes Kriterium.

Sei $ \mbox{$f$}$ zweimal differenzierbar in $ \mbox{$x_0$}$.

Existenzgarantie.

Sei $ \mbox{$f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$}$ stetig. Dann gibt es $ \mbox{$x_0,x_1\in[a,b]$}$ so, daß $ \mbox{$f$}$ bei $ \mbox{$x_0$}$ ein globales (und damit auch lokales) Maximum und bei $ \mbox{$x_1$}$ ein globales (und damit auch lokales) Minimum besitzt.

Wendepunkte.

Sei $ \mbox{$f:D\to\mathbb{R}$}$ differenzierbar. Die Funktion $ \mbox{$f$}$ hat bei $ \mbox{$x_0\in D$}$ einen Wendepunkt, falls $ \mbox{$f'$}$ bei $ \mbox{$x_0$}$ ein lokales Extremum besitzt. Die obigen Überlegungen gelten alle analog für $ \mbox{$f'(x)$}$, wobei ein Maximum von $ \mbox{$f'$}$ einer 'Links-Rechts'-Kurve und ein Minimum einer 'Rechts-Links'-Kurve des Graphen von $ \mbox{$f$}$ entspricht.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Beispiele:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006