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Mathematik-Online-Lexikon:

Hyperbelfunktionen

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Analog zu den trigonometrischen Funktionen definiert man

$\displaystyle \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2},\quad \sinh x= \frac{e^x-e^{-x}}{2} $

sowie

$\displaystyle \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x} = 1/$coth$\displaystyle \, x\, .$

\includegraphics[height=4.5cm]{a_hyperbelfunktionen_bild1_1.eps}   \includegraphics[height=4.5cm]{a_hyperbelfunktionen_bild2_1.eps}
$ \sinh x$ , $ \cosh x$   $ \tanh x$ , $ \coth x$

Die Umkehrfunktionen lassen sich explizit angeben:

\begin{displaymath} \begin{array}{ccl} \mbox{arsinh} x = \ln (x+ \sqrt{x^2+1}),&... ... x = \ln (x+ \sqrt{x^2-1}),&\quad& 1\leq x<\infty. \end{array}\end{displaymath}

Die Bezeichnung Hyperbelfunktion bezieht sich auf die Identität

$\displaystyle \cosh^2 x- \sinh^2 x=1 $

Diese impliziert, dass durch $ t\mapsto (\cosh t, \sinh t)$ ein Zweig einer Hyperbel parametrisiert wird.

\includegraphics[height=6cm]{bsp_hyperbel_bild1}          \includegraphics[height=6cm]{bsp_hyperbel_bild2}    

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013