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Mathematik-Online-Lexikon:

Entsprechung von Permutationsdarstellung und G-Menge

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(a)
Sei $ \varphi: G \rightarrow Sym(M)$ eine Permutationsdarstellung, dann wird $ M$ durch

\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} G \times M & \longrightarrow & M\\ (g,m) & \longmapsto & \varphi (g)(m) =: g \cdot m \end{array}\end{displaymath}

zu einer $ G-$Menge.

Schreibweise: $ M_{\varphi} .$

(b)
Ist $ M$ eine $ G-$Menge, dann ist

\begin{displaymath} \begin{array}{cccc} \varphi:& G &\longrightarrow &Sym(M) \\ & g &\longmapsto &(\mu_g: x \mapsto g\cdot x) \end{array}\end{displaymath}

eine Permutationsdarstellung.

Schreibweise: $ \varphi_M .$

Es lässt sich also jeder Permutationsdarstellung eine $ G-$Menge zuordnen und umgekehrt. Die Begriffe Permutationsdarstellung und $ G-$Menge sind daher gleichwertig.

(Autoren: Höfert/Kimmerle)

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 17. 10. 2006