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Mathematik-Online-Lexikon:

Eigenschaften von Kommutatoren

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Sei $ G$ eine Gruppe. Die Kommutatoren von $ G$ besitzen die folgenden Eigenschaften.

a)
$ [G,G]$ ist ein Normalteiler von $ G$.

Die Gruppe $ G \, / \, [G,G]$ heißt Kommutatorfaktorgruppe. Sie ist das größte abelsche Bild von $ G$, d.h. ist $ \varphi: \ G \rightarrow H$ ein Gruppenhomorphismus und $ \varphi(G)$ ist abelsch, dann gibt es eine zu $ \varphi(G)$ isomorphe Untergruppe der Kommutatorfaktorgruppe. Wegen dieser Eigenschaft nennt man die Kommutatorfaktorgruppe auch die ,abelsch gemachte Gruppe.

b)
Für $ M,N \unlhd G$ gilt $ [M,N] \unlhd G$.
c)
Sei $ \varphi: \ G \longrightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $ M,N \subseteq G$. Dann ist

$\displaystyle \varphi([M,N])=[\varphi(M),\varphi(N)]. $

siehe auch:

[Erläuterungen]
  automatisch erstellt am 3. 11. 2006