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Mathematik-Online-Lexikon:

Separationsansatz

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Für eine partielle Differentialgleichung der Form

$\displaystyle L_xu(x,y)=L_yu(x,y) $

mit $ L_x$ ($ L_y$) einem Differentialoperator, der nur auf die $ x$- ($ y$-) Variable wirkt, können spezielle Lösungen mit Hilfe des Ansatzes

$\displaystyle u(x,y)=v(x)w(y) $

konstruiert werden. Durch die Produktform werden die Variablen getrennt:

$\displaystyle (L_xv)w=v(L_yw)\quad\Leftrightarrow\quad\frac{L_xv(x)}{v(x)}=\frac{L_yw(y)}{w(y)} $

für $ u\neq0$. Da man in den Quotienten die Variablen $ x$ und $ y$ unabhängig voneinander variieren kann, müssen beide Quotienten konstant sein. Bezeichnet man diese sogenannte Separationskonstante mit $ \lambda$, so erhält man die Eigenwertprobleme

$\displaystyle L_xv=\lambda v\ ,\quad L_yw=\lambda w\,. $

Analog kann man für lineare partielle Differentialgleichungen in mehr als zwei Variablen vorgehen.
(Autor: Kimmerle)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 6.  3. 2006