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Mathematik-Online-Lexikon:

Variablensubstitution

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Aus der Kettenregel

$\displaystyle \frac{d}{dx} F(g(x))=f(g(x)) g'(x),\quad f=F',$

folgt durch Bilden von Stammfunktionen für eine Substiution $ y=g(x)$

$\displaystyle \int f(g(x)) g'(x)\, dx = F(y) +c=\int f(y)\,dy \,.$

Entsprechend gilt

$\displaystyle \int_a^b f(g(x)) g'(x) \, dx = F(g(b))-F(g(a)) = \int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\, dy $

für bestimmte Integrale. Mit Hilfe von Differentialen läßt sich diese Formel in der Form

$\displaystyle \int_a^b f(g(x)) \frac{dy}{dx}\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(y)\,dy $

schreiben.

Ein einfacher Spezialfall ist eine lineare Variablensubstitution:

$\displaystyle x \mapsto y = px +q\,. $

In diesem Fall ist

$\displaystyle \int\,f(px+q)\,dx = \frac{1}{q}\,F(y) + c $

bzw.

$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(px+q)\,dx = \frac{1}{p}\,[F]_{pa+q}^{pb+q}\,. $

Beispiele:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013