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Mathematik-Online-Lexikon:

Struktur der Lorentz-Gruppe

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$ SO^{+}(3,1)$ ist ein Normalteiler von $ O(3,1) \hspace{4cm} (1)$.
Um die Struktur der Lorentz-Gruppe zu beschreiben, reicht es alle Nebenklassen von $ SO^{+}(3,1)$ in $ O(3,1)$ zu bestimmen. Es gilt

$\displaystyle \vert O(3,1)/SO^{+}(3,1)\vert\hspace{0.2cm}= \hspace{0.2cm} 4. \hspace{3cm} (2)$

Sei $ C = (\zeta_{ij})_{1 \geq i,j \geq 4}\not \in SO^{+}(3,1)$, dann gibt es 3 Fälle:
  1. det$ C$ = 1 und $ \zeta_{44} \leq -1$. Beispiel: $ C_{1} = \footnotesize {\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$
  2. det$ C$ = -1 und $ \zeta_{44} \geq -1$. Beispiel: $ C_{2} = \footnotesize {\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$
  3. det$ C$ = -1 und $ \zeta_{44} \leq 1$. Beispiel: $ C_{3} = \footnotesize {\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 & 0\\ 0& -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}\\ \\ $
Die Matrizen $ E_{4}, C_{1}, C_{2}, C_{3}$ sind paarweise nicht verbindbar sind, d. h. sie liegen in paarweise verschiedenen Nebenklassen von $ SO^{+}(3,1)$.Also gilt insgesamt:

$\displaystyle O(3,1) = SO^{+}(3,1) \hspace{0.3cm} \cup \; \big{[}C_{1} \cdot SO... ...^{+}(3,1)\big{]} \hspace{0.3cm} \cup \; \big{[}C_{3} \cdot SO^{+}(3,1)\big{]}.$

(Autor: Borgart)

siehe auch:

[Erläuterungen]
  automatisch erstellt am 28. 10. 2006