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Mathematik-Online-Lexikon:

Direktes Produkt und Produkt zyklischer Gruppen

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a)
Sei $ G$ eine Gruppe mit den Normalteiler $ N_1$ und $ N_2$. Ist $ N_1 \cap N_2=1$ und $ G=\langle N_1 ,N_2 \rangle$, dann gilt

$\displaystyle G \cong N_1 \times N_2 \,. $

b)
Sei $ m=t_1 \cdot t_2 \in {\mathbb{N}}$ mit $ ggT(t_1,t_2)=1$, dann gilt

$\displaystyle {\mathbb{Z}}/m{\mathbb{Z}} \cong {\mathbb{Z}}/t_1{\mathbb{Z}} \times {\mathbb{Z}}/t_2{\mathbb{Z}} \,. $

c)
Sei $ m \in {\mathbb{N}}$ und $ m=p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}$ die Primfaktorzerlegung von $ m$. Dann ist

$\displaystyle {\mathbb{Z}}/m{\mathbb{Z}} \cong {\mathbb{Z}}/p_1^{\alpha_1}{\mathbb{Z}} \times \ldots \times {\mathbb{Z}}/p_k^{\alpha_k}{\mathbb{Z}} \,. $

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 3. 11. 2006