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Mathematik-Online-Lexikon:

Bahnenlemma

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Für eine Gruppe $ G$ sei $ M$ eine $ G-$Menge und $ B$ eine Bahn von $ G$. Weiter sei $ b\in B$.
a)
$ St(b):= \{ g\in G \ ; \ gb=b \}$ ist eine Untergruppe von $ G$. $ St(b)$ heißt Stabilistator von $ b$.
b)
$ B$ ist eine $ G-$Menge isomorph zu $ G/St(b)$. Insbesondere ist, wenn $ B$ endlich ist, die Länge einer Bahn gleich dem Index des Stabilisators in $ G$, d.h.

$\displaystyle \vert B\vert=\vert G:St(b)\vert \,. $

Man beachte, dass insbesondere dann alle Bahnen endlich sind, wenn $ G$ endlich ist.
c)
Sind $ b,b' \in B$, dann existiert ein $ g\in G$ mit

$\displaystyle St(b)=g^{-1}St(b)g \,. $

Stabilisatoren von Elementen aus der gleichen Bahn sind also zueinander konjugiert.
(Autoren: Höfert/Kimmerle)

siehe auch:

[Erläuterungen]
  automatisch erstellt am 17. 10. 2006