Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Killing-Form

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Sei $ \mathbb{K}$ ein Körper der Charakteristik 0 , $ \cal L$ eine Lie-Algebra über $ \mathbb{K}$ , $ \operatorname{ad}:{\cal L}\rightarrow\operatorname{gl}\left({\cal L}\right)$ bezeichne die adjungierte Darstellung von $ \cal L$ . Wir setzen

$\displaystyle {\cal K}\left(x,y\right):=$Spur $\displaystyle \left(\operatorname{ad}_x\circ\operatorname{ad}_y\right),~~x,y\in{\cal L}.$

Dies ist eine symmetrische Bilinearform auf $ \cal L$ ; sie heißt Killing-Form von $ \cal L$ .
Die Killing-Form nimmt in der Strukturtheorie der halbeinfachen Lie-Algebren eine zentrale Stellung ein; dies liegt im Wesentlichen daran, dass sie invariant bzgl. der adjungierten Darstellung ist, d.h.

$\displaystyle {\cal K}\left(\left[x,y\right],z\right)+{\cal K}\left(y,\left[x,z\right]\right)=0,~~\forall x,y,z\in{\cal L}.$


Für eine Lie-Algebra $ \cal L$ über einem Körper $ \mathbb{K}$ der Charakteristik 0 gilt

$\displaystyle {\cal L}$ ist halbeinfach$\displaystyle \Leftrightarrow$ die Killing-Form ist nicht ausgeartet

(Autor: Hablizel)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  3. 2007