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Mathematik-Online-Lexikon:

Basis eines Wurzelsystems

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Sei $ \cal L$ eine komplexe, halbeinfache Lie-Algebra, $ \cal H$ eine Cartansche Teilalgebra von $ \cal L$ und $ R$ das zugehörige Wurzelsystem. Eine Teilmenge $ B$ von $ R$ heißt Basis von $ R$ , wenn gilt Gilt für $ \alpha$ das Pluszeichen (Minuszeichen), dann heißt $ \alpha$ positive (negative) Wurzel bzgl. B. Die Menge der positiven (negativen) Wurzeln wird mit $ R^+$ ($ R^-$ ) bezeichnet (es gilt $ R^-=-R^+$ ).

Es gelten folgende Aussagen:
Jedes Wurzelsystem hat eine Basis. Ist $ B$ eine Basis, so gilt (außer $ \alpha(h_\alpha)=2$ für $ \alpha\in B$ ):
  1. $ -\alpha(h_\beta)\in\mathbb{N}_0$ für $ \alpha,\beta\in B$ , $ \alpha\neq\beta$
  2. $ \alpha(h_\beta)=0\Rightarrow \beta(h_\alpha)=0$ für $ \alpha,\beta\in B$
Man verifiziert leicht, dass $ (H_0)^*$ von $ R$ aufgespannt wird, nach obigem also auch von jeder Basis von $ R$ . Benutzt man noch, dass $ H_0$ eine reelle Form von $ \cal H$ ist, so folgt:
Ist $ B$ eine Basis von $ R\left({\cal L},{\cal H}\right)$ , so ist $ B$ eine $ \mathbb{R}$ -Basis von $ (H_0)^*$ und eine $ \mathbb{C}$ -Basis von $ {\cal H}^*$ . Die $ h_\alpha,~\alpha\in B$ bilden eine $ \mathbb{R}$ -Basis von $ H_0$ und eine $ \mathbb{C}$ -Basis von $ \cal H$ .

(Autor: Hablizel)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  3. 2007