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Mathematik-Online-Lexikon:

Lie-Algebren linearer Gruppen

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Für eine Untergruppe $ G$ von $ \operatorname{GL}\left(n,\mathbb{K}\right)~~(\mathbb{K}=\mathbb{R},\mathbb{C}$ oder $ \mathbb{H})$ setzen wir

$\displaystyle {\cal L}G:=\left\{X\in\operatorname{Mat}(n,\mathbb{K}):~\operatorname{exp}(tX)\in G\mbox{ für alle }t\in\mathbb{R}\right\}.$

Für Untergruppen $ G$ und $ H$ von $ \operatorname{GL}\left(n,\mathbb{K}\right)$ gilt

Aus $ {\cal L}G={\cal L}H$ folgt nicht $ G=H$ , wie man sich leicht an dem Beispiel $ G=\mathbb{R}^\times=\operatorname{GL}(1,\mathbb{R})$ klarmacht (in diesem Fall gilt nämlich $ \exp(t)=e^t\in\mathbb{R}_+^\times$ für alle $ t\in\mathbb{R}$ , und damit $ {\cal L}\mathbb{R}_+^\times=\mathbb{R}$ ).

$ {\cal L}G$ ist für jede lineare Gruppe $ G$ eine Lie-Algebra über $ \mathbb{R}$ . $ {\cal L}G$ heißt Lie-Algebra von G.
Nach Definition von $ {\cal L}G$ gilt $ \exp(X)\in G$ für alle $ X\in{\cal L}G$ .
Die Restriktion $ \exp_G:{\cal L}G\rightarrow G$ heißt Exponentialabbildung der Gruppe $ G$ .

(Autor: Hablizel)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8.  3. 2007