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Mathematik-Online-Lexikon:

Die adjungierte Darstellung

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Es sei $ G$ eine lineare Gruppe. Für $ A\in G$ bezeichnen wir mit $ \kappa_A$ die Konjugation in $ G$ mit $ A$ , d.h.

$\displaystyle \kappa_A:G\rightarrow G,~B\mapsto ABA^{-1}~~(B\in G).$

Die Abbildung $ t\mapsto\kappa_A\circ\exp(tX)$ ist für jedes $ X\in{\cal L}G$ stetig differenzierbar und es gilt

$\displaystyle {\cal L}\kappa_A(X)=AXA^{-1}$

Insbesondere folgt $ {\cal L}\kappa_A\in\operatorname{GL}(g),~g:={\cal L}G$ und aus der Kettenregel ergibt sich

$\displaystyle {\cal L}\kappa_{AB}={\cal L}\left(\kappa_A\circ\kappa_B\right)={\cal L}\kappa_A\circ{\cal L}\kappa_B$ für alle $\displaystyle A,B\in G.$

Damit ergibt sich eine neue, wichtige Darstellung für jede lineare Gruppe und zwar

$\displaystyle \operatorname{Ad}:G\rightarrow\operatorname{GL}(g),~A\mapsto{\cal L}\kappa_A;$

sie heißt adjungierte Darstellung von $ G$ .
Man setzt $ ad:={\cal L}(\operatorname{Ad})$ und erhält durch Differenzieren

$\displaystyle ad:g\rightarrow\operatorname{gl}(g),~\left(\operatorname{ad}X\right)\left(Y\right)=\left[X,Y\right]~~\left(X,Y\in g\right).$

$ \operatorname{ad}$ heißt adjungierte Darstellung von $ g$ .
Es gilt

$\displaystyle \operatorname{Ad}\circ\exp=\exp\circ\operatorname{ad}$ und

$\displaystyle A\exp(X)A^{-1}=\exp\left(\operatorname{Ad}(A)(X)\right)~~\left(A\in G,~X\in{\cal L}G\right).$

(Autor: Hablizel)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 8.  3. 2007