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Mathematik-Online-Lexikon:

Stetigkeit der Sinc-Funktion

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Die sogenannte $ \operatorname{sinc}$-Funktion

$\displaystyle f(x)=\operatorname{sinc}x=\frac{\sin x}{x}$

ist mit der Fortsetzung $ f(0)=1$ stetig auf $ \mathbb{R}$.

\includegraphics[width=.65\linewidth]{sinc_x_1.eps}

Der Beweis beruht auf Abschätzungen der trigonometrischen Funktionen.

\includegraphics[width=.3\linewidth]{sinc_1.eps}

Durch Vergleich der Flächeninhalte des Dreiecks $ \Delta (OPQ)$ , des Kreissegments und des Dreiecks $ \Delta (O\overline{P}\,\overline{Q})$ in der Abbildung sieht man, dass

$\displaystyle \frac{\sin x \cos x }{2}\leq \frac{x}{2} \leq \frac{\tan x }{2}$

bzw.

$\displaystyle \frac{1}{\cos x } \geq \operatorname{sinc} x \geq \cos x ,$

nach Division durch $ \sin x /2$ und Kehrwertbildung. Mit $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\cos x }=1$ folgt aus dem Vergleichskriterium

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \operatorname{sinc} x = 1.$

Beispiel:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013