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Mathematik-Online-Lexikon:

Lösung eines positiv definiten Gleichungssystems

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Ein lineares Gleichungssystem $ Sx=b$ mit symmetrisch positiv definiter Matrix $ S$ kann mit Hilfe der Cholesky-Zerlegung $ S = R^{\operatorname t} R$ gelöst werden:

$\displaystyle R^{\operatorname t} \underbrace{Rx}_y =b \; \Longleftrightarrow \; R^{\operatorname t} y=b \; \wedge \; Rx=y \,. $

Die Lösungen $ y$ und $ x$ der zwei Systeme in Dreiecksform werden durch Vorwärts- bzw. Rückwärtseinsetzen bestimmt.

Die Cholesky-Zerlegung kann insbesondere zur Lösung der Normalengleichungen

$\displaystyle \underbrace{A^{\operatorname t}A}_S x = \underbrace{A^{\operatorname t}c}_b $

genutzt werden, falls die $ m\times n$-Matrix $ A$ maximalen Rang $ n$ hat.

Beispiel:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013