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Mathematik-Online-Lexikon:

Gleichung, Definitionsbereich, Lösung

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Eine Gleichung ist eine spezielle Aussage der Form

$\displaystyle A=B \,, $

wobei $ A$ und $ B$ arithmetische Ausdrücke sind, die von Variablen abhängen können. Durch geeignetes Ersetzen der Variablen durch konkrete Elemente einer Menge nimmt die Gleichung den Wahrheitswert 'wahr' oder 'falsch' an.

Die Menge der Elemente, die in die Gleichung eingesetzt werden dürfen, nennt man den Definitionsbereich $ D$ der Gleichung. Die Elemente des Definitionsbereichs, die den Wahrheitswert 'wahr' ergeben nennt man die Lösungen $ L$ der Gleichung.

Die Gleichung

$\displaystyle x^2=2 $

mit dem Definitionsbereich $ {D}=\mathbb{R}$ liefert zum Beispiel beim Einsetzen der Zahl $ x=1$ die Aussage

$\displaystyle 1^2 =2 \,. $

Die Gleichung nimmt in diesem Fall also den Wahrheitswert 'falsch' an. Setzt man dagegen $ x=-\sqrt{2}$ oder $ x=\sqrt{2}$ ein, so nimmt die Gleichung den Wahrheitswert 'wahr' an. Die Werte $ -\sqrt{2}$ und $ \sqrt{2}$ sind also Lösungen der Gleichung.

Lässt man als Definitionsbereich nur positive reelle Zahlen zu, also $ {D}=\{x\in \mathbb{R} \ : \ x>0 \}$, dann besitzt die Gleichung nur die Lösung $ \sqrt{2}$. Besteht der Definitionsbereich lediglich aus den ganzen Zahlen, also $ {D}=\mathbb{Z}$, dann besitzt die Gleichung keine Lösung. Die Lösungen einer Gleichung hängen also maßgeblich von ihrem Definitionsbereich ab.

(Autor: Vorkurs Mathematik)

Beispiele:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 16.  9. 2009