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Mathematik-Online-Lexikon:

Euler-MacLaurin-Entwicklung

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Für eine glatte Funktion hat der Fehler $ e_h f = s_h f - \int_a^b f$ der Trapezregel die Entwicklung

$\displaystyle \sum_{i=1}^{m-1} \gamma_{2i}\, \left(f^{(2i-1)}(b)-f^{(2i-1)}(a) \right)\, h^{2i} $

mit dem Restglied

$\displaystyle \gamma_{2m}\, f^{(2m)}(\xi)(b-a)\, h^{2m} $

für ein $ \xi\in[a,b]$ und $ \gamma_{2i}$ den normierten Bernoulli-Zahlen.

Aus der Entwicklung folgt insbesondere, dass die Trapezregel für unendlich oft differenzierbare $ (b-a)$-periodische Funktionen sehr genau ist. Der Fehler strebt schneller als jede $ h$-Potenz gegen Null. Für nicht-periodische Funktionen bildet die Entwicklung die Grundlage für Extrapolationsverfahren, mit denen ebenfalls beliebige Approximationsordnungen erzielt werden können.

Beispiel:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013