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Mathematik-Online-Lexikon:

Ordung eines Mehrschrittverfahrens

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Ein lineares $ n$-Schrittverfahren mit Parametern

$\displaystyle u^h_{\ell+1} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k u^h_{\ell-k} + h \sum_{k=-1}^{n-1} b_k f(t^h_{\ell-k},u^h_{\ell-k}) $

zur Approximation eines Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u^\prime = f(t,u) $

hat die Ordnung $ m$, wenn für glattes $ f$ und glatte Lösungen $ u$

$\displaystyle \Delta(t,h) = \frac{1}{h} \sum_{k=0}^{n-1} a_k u(t-kh) + \sum_{k=-1}^{n-1} b_k f(t-kh,u(t-kh)) = O(h^m) $

mit $ a_{-1} = -1$. Die Ordnung des Diskretisierungsfehlers $ \Delta$, der beim Einsetzen einer exakten Lösung in die Differenzengleichung entsteht, kann durch Bedingungen an die Parameter $ a_k$ und $ b_k$ charakterisiert werden. Es müssen die Ordnungsbedinungen

$\displaystyle \sum_{k=-1}^{n-1} a_k k^j = j \sum_{k=-1}^{n-1} b_k k^{j-1} $

für $ j=0,\ldots,m$ erfüllt und für $ j=m+1$ verletzt sein.

Hat ein Verfahren mindestens die Ordnung $ 1$, so wird es als konsistent bezeichnet. Anders als bei Einschrittverfahren ist Konsistenz nur notwendig aber nicht hinreichend für die Konvergenz eines Mehrschrittverfahrens.

Beispiel:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013