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Mathematik-Online-Lexikon:

Stabilität linearer Mehrschrittverfahren

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Ein lineares $ n$-Schrittverfahren

$\displaystyle u^h_{\ell+1} = \sum_{k=0}^{n-1} a_k u^h_{\ell-k} + h \sum_{k=-1}^{n-1} b_k f(t^h_{\ell-k},u^h_{\ell-k}) $

zur Approximation eines Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u^\prime = f(t,u) $

bezeichnet man als stabil, wenn numerische Lösungen eines homgenen linearen Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u^\prime = Q(t) u $

gleichmäßig bzgl. der Schrittweite $ h$ beschränkt sind. Genauer gilt

$\displaystyle \Vert u^h_\ell\Vert \le c \max_{0\le k< n} \Vert u^h_k\Vert,\quad \ell h\le T \,, $

wobei die Konstante $ c$ nur von $ T$ und $ \max_{t_0\le t\le T} \Vert Q(t)\Vert$ abhängt. Aus dieser Abschätzung folgt insbesondere, dass die numerische Lösung stetig von den Startwerten $ u^h_0,\ldots,u^h_{n-1}$ abhängt.

Notwending und hinreichend für Stabilität ist die sogenannte Wurzelbedingung. Nullstellen $ \lambda$ des charakteristischen Polynoms

$\displaystyle p(\lambda) = \lambda^n-\sum_{k=0}^{n-1} a_k \lambda^{n-1-k} $

müssen in der komplexen Einheitskreisscheibe liegen und, wenn sie Betrag Eins haben, einfach sein:

Erläuterung:

[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013