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Mathematik-Online-Lexikon:

Stabilitätsgebiete von Einschritt- und Mehrschrittverfahren

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Eine numerische Lösung $ u^h_\ell\approx u(t^h_\ell)$, $ t^h_\ell=t_0+\ell h$, eines Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u^\prime = f(t,u) $

sollte das gleiche qualitative Verhalten wie die exakte Lösung haben. Besonders kritisch ist dabei die Approximation schnell abklingender Lösungskomponenten, wie z.B. für das Modellproblem

$\displaystyle u^\prime = \lambda u,\quad \operatorname{Re}\lambda<0 \,. $

Dies motiviert die folgende Definition. Man bezeichnet die Menge aller komplexen Zahlen $ \omega=h\lambda$, für die die numerische Lösung des Modellproblems für $ \ell\to\infty$ gegen Null streben, als Stabilitätsgebiet $ \Omega$ des Verfahrens.

Die Relevanz des Modellproblems beruht auf der Linearisierung

$\displaystyle f \approx f_t\,(t-t_0) + f_u\,(u(t)-u(t_0)) \,. $

Aufgrund der Lösungsstruktur für lineare Differentialgleichungssysteme spielen die Eigenwerte der Jacobi-Matrix $ f_u$ die Rolle des Parameters $ \lambda$ in dem Modellproblem. Als Voraussetzung für ein richtiges qualitatives Verhalten der Lösung sollte die Schrittweite $ h$ mindestens so klein gewählt werden, dass $ \lambda h\in \Omega$ für alle Eigenwerte mit negativem Realteil.

Beispiele:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013