Mathematik-Online-Lexikon: Transponierte, adjungierte, symmetrische und hermitesche Matrix

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	Transponierte, adjungierte, symmetrische und hermitesche Matrix

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Übersicht

Werden Zeilen und Spalten einer Matrix

vertauscht so spricht man von der transponierten Matrix $B=A^{\operatorname t}$ , d.h.

$\displaystyle b_{i,j} = a_{j,i}\, .$

Werden bei einer komplexen Matrix zusätzlich die Einträge konjugiert, so ergibt sich die adjungierte Matrix $C=A^\ast = \bar A^{\operatorname t}$ , d.h.

$\displaystyle c_{i,j} = \bar a_{j,i}\, .$

Eine Matrix mit $A=A^{\operatorname t}$ bezeichnet man als symmetrisch, eine Matrix mit $A=A^\ast$ als selbst-adjungiert oder Hermitesch. Für reelle Matrizen bedeuten die Begriffe hermitesch und symmetrisch also dasselbe.

Es gelten folgende Regeln:

$(A B)^{\operatorname t}= B^{\operatorname t}A^{\operatorname t}$ und $(A B)^\ast = B^\ast A^\ast$ ,
$(A^{\operatorname t})^{-1} = (A^{-1})^{\operatorname t}$ und $(A^\ast)^{-1} = (A^{-1})^\ast$ .

Erläuterung:

Beweis der Regeln

[Beispiele] [Verweise]

automatisch erstellt am 25. 1. 2006