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Mathematik-Online-Lexikon:

Division komplexer Zahlen

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Der Quotient $ z_1/z_2$ zweier komplexer Zahlen

$\displaystyle z_k = x_k + \mathrm{i} y_k = r_k \exp(\mathrm{i}\varphi_k) $

ist

$\displaystyle \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2} + \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\,\mathrm{i} = \frac{r_1}{r_2}\exp(\mathrm{i}(\varphi_1-\varphi_2))\, . $

Speziell ist

$\displaystyle \frac{1}{z} = \frac{1}{r^2} \bar z = \frac{1}{r} \exp(-\mathrm{i}\varphi) = \frac{x}{r^2} - \frac{y}{r^2}\,\mathrm{i} \,. $

Der Kehrwert einer komplexen Zahl läßt sich durch Spiegelung am Einheitskreis $ C$ konstruieren, wie in der Abbildung veranschaulicht ist.

\includegraphics[height=6cm]{a_division_bild}

Die komplex konjugierte Zahl $ w=\bar z$ ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks aus den Tangenten an $ C$ durch den Punkt $ z$ und den rechtwinklig schneidenden Radii. Die Zahl $ z$ erhält man dann durch Spiegelung an der reellen Achse.

Erläuterung:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013