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Mathematik-Online-Lexikon:

Potenzen einer komplexen Zahl

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Um Potenzen komplexer Zahlen zu bilden, verwendet man am geeignetsten die Polarform $ z=re^{\mathrm{i}\varphi}$ . Für $ m\in\mathbb{Z}$ ist

$\displaystyle z^m=r^me^{\mathrm{i}m\varphi} \,. $

Die gleiche Formel bleibt auch für rationale Exponenten $ m=p/q\in\mathbb{Q}$ richtig, allerdings ist das Ergebnis aufgrund der Mehrdeutigkeit der $ n$ -ten Einheitswurzel nicht eindeutig. Da die Gleichung $ w^q=1$ die $ q$ Lösungen

$\displaystyle w=w_q^{kp} ,\quad w_q = \exp\left(2\pi\mathrm{i}/q\right) ,\quad k=0,\dots,q-1 $

besitzt, erhält man entsprechend

$\displaystyle r^{p/q} \exp\left(\mathrm{i}p\varphi/{q}\right) w_p^{kp},\quad k=0,\dots,q-1 $

als mögliche Werte für $ z^{p/q}$ .
[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013