Mathematik-Online-Lexikon: Potenzen einer komplexen Zahl

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	Potenzen einer komplexen Zahl

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Um Potenzen komplexer Zahlen zu bilden, verwendet man am geeignetsten die Polarform $z=re^{\mathrm{i}\varphi}$ . Für $m\in\mathbb{Z}$ ist

$\displaystyle z^m=r^me^{\mathrm{i}m\varphi} \,.$

Die gleiche Formel bleibt auch für rationale Exponenten $m=p/q\in\mathbb{Q}$ richtig, allerdings ist das Ergebnis aufgrund der Mehrdeutigkeit der

-ten Einheitswurzel nicht eindeutig. Da die Gleichung

die

Lösungen

$\displaystyle w=w_q^{kp} ,\quad w_q = \exp\left(2\pi\mathrm{i}/q\right) ,\quad k=0,\dots,q-1$

besitzt, erhält man entsprechend

$\displaystyle r^{p/q} \exp\left(\mathrm{i}p\varphi/{q}\right) w_p^{kp},\quad k=0,\dots,q-1$

als mögliche Werte für $z^{p/q}$ .

Beispiele:

automatisch erstellt am 19. 8. 2013