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Mathematik-Online-Lexikon:

Dividierte Differenz

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Die Dividierte Differenz verallgemeinert den Differenzenquotienten

$\displaystyle \Delta(a,b) f = \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \,. $

Sie ist rekursiv definiert. Für $ x_0\ne x_n$ ist

$\displaystyle \Delta(x_0,\ldots,x_n)f = \frac{ \Delta(x_1,\ldots,x_n)f - \Delta(x_0,\ldots,x_{n-1})f}{ x_n-x_0} $

und

$\displaystyle \Delta(\underbrace{x,\ldots,x}_{(n+1)\ \text{mal}})f = \frac{1}{n!} f^{(n)}(x) \,. $

Insbesondere ist $ \Delta(x)f = f(x)$.

Die Dividierten Differenzen $ \Delta_m^n = \Delta(x_m,\ldots,x_{m+n})f$ können in einem Dreiecksschema berechnet werden:

$ x_0$ $ \Delta^0_0 $ $ \Delta_0^1$ $ \Delta_0^2$ $ \Delta_0^3$
$ x_1$ $ \Delta_1^0$ $ \Delta_1^1$ $ \Delta_1^2$  
$ x_2$ $ \Delta_2^0$ $ \Delta_2^1$    
$ x_3$ $ \Delta_3^0$      
Startwerte sind Funktions- bzw. bei Vielfachheiten Ableitungswerte von $ f$ an den Punkten $ x_k$.

siehe auch:

[Beispiele]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013