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Mathematik-Online-Lexikon:

Orthogonale Polynome

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Zu jeder auf einem Intervall $ (a,b)$ positiven Gewichtsfunktion $ w$ existiert eine bzgl. des Skalarproduktes

$\displaystyle \langle f,g \rangle = \int_a^b fg\,w $

orthogonale Folge von Polynomen

$\displaystyle p_n(x) = \alpha_n x^n + O(x^{n-1}),\quad \alpha_n\ne 0\,. $

Bis auf den Normierungsfaktor $ \alpha_n$ sind die orthogonalen Polynome durch die Orthogonalitätsbedingungen

$\displaystyle \langle p_m,p_n \rangle = 0,\quad m\ne n \,, $

eindeutig bestimmt und können mit Gram-Schmidt-Verfahren konstruiert werden.

  Legendre Tschebyscheff Jacobi Laguerre Hermite
$ (a,b)$ $ (-1,1)$ $ (-1,1)$ $ (-1,1)$ $ (0,\infty)$ $ (-\infty,\infty)$
$ w(x)$ $ 1$ $ (1-x^2)^{-1/2}$ $ (1+x)^r(1-x)^s$ $ \exp(-x)$ $ \exp(-x^2)$

Die Tabelle zeigt die Gewichtsfunktionen für die klassischen Orthogonalpolynome.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013