Mathematik-Online-Lexikon: Gruppe

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Unter einer Gruppe $(G,\diamond)$ versteht man eine Menge

, auf der eine binäre Operation $\diamond$ definiert ist:

$\displaystyle \diamond: G \times G \longmapsto G\,,$

d.h. jedem Elementepaar

: $a,b \in G$ ist ein Element $a \diamond b \in G$ zugeordnet. Ferner müssen folgende Eigenschaften gelten:

Assoziativität:

$\displaystyle (a \diamond b) \diamond c = a \diamond (b \diamond c) \qquad \forall a,b,c \in G$
Neutrales Element: Es existiert ein eindeutig bestimmtes neutrales Element $e \in G$ , d.h.

$\displaystyle e \diamond a = a \diamond e = a \qquad \forall a \in G$
Inverses Element: Zu jedem Element $a \in G$ existiert ein eindeutig bestimmtes inverses Element $a^{-1} \in G$ mit

$\displaystyle a \diamond a^{-1} = a^{-1} \diamond a = e\,.$

Man nennt eine Gruppe eine kommutative oder abelsche Gruppe, wenn die Operation $\diamond$ kommutativ ist:

$\displaystyle a \diamond b = b \diamond a \qquad \forall a,b \in G\,.$

Wenn aus dem Zusammenhang ersichtlich ist, welche Operation verwendet wird, schreibt man häufig statt $(G,\diamond)$ nur

Beispiel:

automatisch erstellt am 19. 8. 2013