Mathematik-Online-Lexikon: Körper

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	Körper

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Eine Menge

, auf der eine Addition ,,+`` und eine Multiplikation ,, $\cdot$ `` definiert sind, nennt man einen Körper, wenn folgende Eigenschaften gelten:

Additive Gruppenstruktur: ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 (Nullelement), d.h. für alle $a,b \in K$ gilt

$\displaystyle a + b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b + a$

$\displaystyle (a + b)+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+(b + c)$

$\displaystyle a + 0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$

$\displaystyle a + (-a)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 \,,$

wobei das inverse Element zu bezeichnet.
Multiplikative Gruppenstruktur: $(K\backslash\{0\},\cdot)$ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element (Einselement), d.h. für alle $a,b,c \in K\backslash\{0\}$ gilt

$\displaystyle a \cdot b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b \cdot a$

$\displaystyle (a \cdot b) \cdot c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a \cdot (b \cdot c)$

$\displaystyle a \cdot 1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$

$\displaystyle a \cdot a^{-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1\,,$

wobei $a^{-1}$ das inverse Element zu bezeichnet.
Distributivgesetz: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ für alle $a,b,c \in K$ .

Beispiel:

automatisch erstellt am 19. 8. 2013