Mathematik-Online-Lexikon: Lokales Verhalten von Flächen

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	Lokales Verhalten von Flächen

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Übersicht

Je nach den Vorzeichen der Eigenwerte $\lambda_i$ der Hesse-Matrix einer Funktion

an einem Punkt

unterscheidet man zwischen

Flachpunkt: Alle $\lambda_i$ sind Null;
elliptischer Punkt: Alle $\lambda_i$ haben das gleiche Vorzeichen;
parabolischer Punkt: Mindestens ein $\lambda_i$ ist Null und die anderen $\lambda_j$ haben das gleiche Vorzeichen;
hyperbolischer Punkt: Es gibt $\lambda_i$ mit verschiedenen Vorzeichen.

$\includegraphics[width=0.2\linewidth]{a_lokal1}$ $\includegraphics[width=0.2\linewidth]{a_lokal2}$ $\includegraphics[width=0.2\linewidth]{a_lokal3}$ $\includegraphics[width=0.2\linewidth]{a_lokal4}$

Flachpunkt elliptischer Punkt parabolischer Punkt hyperbolischer Punkt

Für Funktionen von zwei Variablen sind die verschiedenen Fälle in der Abbildung illustriert. Dabei wurde jeweils $\operatorname{grad}\, f = 0$ angenommen; ein Fall der bei der Klassifzierung kritischer Punkte wichtig ist.

Beispiel:

Affensattel

[Verweise]

automatisch erstellt am 19. 8. 2013