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Mathematik-Online-Lexikon:

Multivariate implizite Funktionen

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Ist für eine stetig differenzierbare Funktion $ f:\;\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$

$\displaystyle f(x_*,y_*)=0,\quad \operatorname{det}\,f_x(x_*,y_*)\ne0\, , $

so lässt sich das Gleichungssystem

$\displaystyle f_\nu(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots, y_m) = 0\,, \quad \nu=1,\ldots,n \, , $

in einer Umgebung von $ y_*$ nach $ x$ auflösen:

$\displaystyle x=\varphi(y) \,. $

Die implizit definierte Funktion $ \varphi$ ist in einer Umgebung von $ x_*$ stetig differenzierbar und besitzt die Jacobi-Matrix

$\displaystyle \varphi^\prime = -(f_x)^{-1}f_y\, . $

Ein entsprechendes Resultat gilt für Funktionen $ f_j(x_1,x_2,\ldots,x_{n+m}), \, j=1,\ldots,n \; ,$ nach Permutation der Variablen, d.h. man kann nach $ x_{j_1},\ldots,x_{j_n}$ auflösen, wenn die Spalten $ j_1,\ldots,j_n$ der Jacobi-Matrix $ f^\prime$ linear unabhängig sind.

Beispiele:

[Erläuterungen] [Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013