Mathematik-Online-Lexikon: Orthogonale Basis

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Lexikon:
	Orthogonale Basis

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Eine Basis $B = \{u_1,\dots,u_n\}$ heißt orthogonal, wenn

$\displaystyle \langle u_i,u_j \rangle = 0,\quad i \neq j\, .$

Sind die Basisvektoren normiert, d.h. ist $\vert u_i\vert = 1$ , so spricht man von einem Orthonormalsystem oder einer Orthonormalbasis.

Ein Vektor besitzt bzgl. einer orthogonalen Basis $u_1,\ldots,u_n$ die Darstellung

$\displaystyle v = \sum_{j=1}^n c_j u_j\,, \quad c_j = \frac{\langle v,u_j\rangle}{\vert u_j\vert^2}\,.$

Für die Koeffizienten

gilt

$\displaystyle \vert c_1\vert^2 \vert u_1\vert^2 + \cdots + \vert c_n\vert^2 \vert u_n\vert^2 = \vert v\vert^2\, .$

Für eine normierte Basis fallen die Terme $\vert u_j\vert^2$ weg, und es ergibt sich

$\displaystyle c_j = \langle v,u_j\rangle\,,\quad \vert c_1\vert^2 + \cdots + \vert c_n\vert^2 = \vert v\vert^2\,.$

Erläuterung:

automatisch erstellt am 19. 8. 2013