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Mathematik-Online-Lexikon:

Konvergenz eines linearen Iterationsverfahrens

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Für den Fehler $ \Delta x_\ell = x_\ell-x_\ast$ der $ \ell$-ten Näherung eines linearen Iterationsverfahrens mit der Rekursion $ x_{\ell+1} = Qx_\ell+p$ und dem Fixpunkt $ x_\ast$ gilt

$\displaystyle \Delta x_\ell = Q\Delta x_{\ell-1} = \ldots = Q^\ell \Delta x_0 $

Die Iteration konvergiert genau dann für jeden Startwert $ x_0$ gegen den Fixpunkt $ x_\ast$, wenn der Spektralradius $ \varrho$ der Iterationsmatrix $ Q$,

$\displaystyle \varrho(Q) = \max \left\{\vert\lambda\vert: Qv = \lambda v, v\neq 0\right\}, $

kleiner als $ 1$ ist.

Der Spektralradius ist ebenfalls ein Maß für die Konvergenzrate, das heißt für die im Mittel zu erwartende Fehlerreduktion pro Iterationsschritt. Je kleiner $ \varrho(Q)$ ist, desto schneller konvergiert das Verfahren.

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013