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Mathematik-Online-Lexikon:

Konvergenz des Jacobi-Verfahrens

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Ein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens zur Lösung eines linearen Gleichungssystems $ Ax=b$ ist, dass die Koeffizientenmatrix $ A$ diagonaldominant ist, d. h.

$\displaystyle \vert a_{k,k} \vert > \sum\limits_{l\neq k} \vert a_{k,l}\vert\,. $

Ist dies der Fall, so gilt für die Iterationsmatrix $ Q=E-D^{-1}A\,,\,D=\operatorname{diag}(A)$,

$\displaystyle \Vert Q\Vert _\infty = \max\limits_k \frac{\sum\limits_{l\neq k} \vert a_{k,l}\vert}{\vert a_{k,k}\vert} < 1\,, $

und damit folgt, dass der Spektralradius $ \varrho(Q)$ kleiner als $ 1$ ist.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013