Mathematik-Online-Lexikon: Kritischer Punkt

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	Kritischer Punkt

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Übersicht

Für eine skalare Funktion

bezeichnet man

als kritischen Punkt, wenn grad $\,f(x)=0$ . Ist

zweimal stetig differenzierbar, so wird der Typ des kritischen Punktes, d.h. die Form des Funktionsgraphen in einer Umgebung von

, durch die Hesse-Matrix bestimmt. Je nach Vorzeichen der Eigenwerte $\lambda_i$ von $\operatorname{H} f(x)$ unterscheidet man zwischen

Flachpunkt: Alle Eigenwerte $\lambda_i$ sind Null.
elliptischer Punkt: Alle Eigenwerte $\lambda_i$ sind ungleich Null und haben das gleiche Vorzeichen. Die Funktion hat in diesem Fall ein lokales Extremum bei .
hyperbolischer Punkt: Es gibt Eigenwerte $\lambda_i$ mit verschiedenem Vorzeichen. Man bezeichnet auch als Sattelpunkt.
parabolischer Punkt: Mindestens ein Eigenwert $\lambda_i$ ist Null, und alle anderen Eigenwerte haben das gleiche Vorzeichen.

Die Bezeichnungen sind durch die Form der Höhenlinien im bivariaten Fall motiviert, wie dies in der Abbildung illustriert ist.

$\includegraphics[width=0.3\linewidth]{kritischer_punkt_elliptisch}$	$\includegraphics[width=0.3\linewidth]{kritischer_punkt_hyperbolisch}$	$\includegraphics[width=0.3\linewidth]{kritischer_punkt_parabolisch}$
elliptischer Punkt	hyperbolischer Punkt	parabolischer Punkt

Bei Funktionen in zwei Veränderlichen kann der Typ anhand der Determinante der Hesse-Matrix klassifiziert werden. Ist $\operatorname{det}(\operatorname{H}f) > 0$ (

), so handelt es sich um ein Extremum (einen Sattelpunkt). Für ein Minimum bzw. ein Maximum ist $\operatorname{Spur}(\operatorname{H}f)>0$ bzw.

. Verschwindet die Determinante und ist die Hesse-Matrix nicht Null, so ist der Punkt parabolisch.

siehe auch:

Stichwort: Extremwert: Funktion mehrerer Veränderlicher

[Beispiele]

automatisch erstellt am 22. 9. 2016