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Mathematik-Online-Lexikon:

Divergenz

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Die Divergenz eines Vektorfeldes

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = F_x\vec{e}_x+F_y\vec{e}_y+F_z\vec{e}_z $

wird durch

$\displaystyle \operatorname{div} \vec{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y +\partial_z F_z $

definiert. Sie ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und entspricht physikalisch der Quelldichte des Vektorfeldes.

Alternativ lässt sich die Divergenz eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes als Grenzwert des Flusses durch die Oberfläche $ {S}$ eines den Punkt $ P$ enthaltenden räumlichen Bereichs $ {V}$ definieren:

$\displaystyle \lim_{\operatorname{diam}{V}\to0} \frac{1}{\operatorname{vol}{V}}\, \iint\limits_{S} \vec{F} \cdot d\vec{S} \,, $

wobei $ d\vec{S}$ nach außen orientiert ist. Dies folgt unmittelbar aus dem Satz von Gauß und dem Mittelwertsatz und zeigt insbesondere die Invarianz der Divergenz unter orthogonalen Koordinatentransformationen.

Beispiel:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013