Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Eindeutige Lösung eines linearen Anfangswertproblems

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Ein lineares Differentialgleichungssystem

$\displaystyle u^\prime = A(t) u + b(t) $

mit stetiger Koeffizientenmatrix $ A$ und stetigem Vektor $ b$ besitzt eine eindeutige Lösung $ (u_1,\ldots,u_n)^{\operatorname t}$ für jeden Anfangswert $ u(t_0)$. Insbesondere besitzt das homogene System $ u^\prime = A(t) u$ $ n$ linear unabhängige Lösungen $ v,w,\ldots$, die man in einer Fundamentalmatrix

$\displaystyle \Gamma = (v,w,\ldots) $

zusammenfassen kann.

Die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems hat die Form

$\displaystyle u = u_p + u_h,\quad u_h = \Gamma c \,, $

wobei $ u_p$ eine partikuläre Lösung und $ u_h$ eine Lösung des homogenen Systems ist, und

$\displaystyle c = \Gamma^{-1}(t_0)(u(t_0) - u_p(t_0)) $

durch eine Anfangsbedingung in einem Punkt $ t_0$ festgelegt werden kann.

Erläuterung:

[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013