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Mathematik-Online-Lexikon:

Taylorentwicklung der Lösung einer Differentialgleichung

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Die Ableitungen der Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle y^\prime = f(x,y) $

lassen sich sukzessive berechnen:

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} y^{\prime\prime} &=& f_y y^\prime + f_x... ...e)^2 + f_y y^{\prime\prime} + f_{xx}\\ &\ldots&\,. \end{array}\end{displaymath}

Entsprechend erhält man für ein Differentialgleichungssystem

$\displaystyle u^\prime_\nu = f_\nu(t,u),\quad \nu=1,\ldots,n\,, $

mit

$\displaystyle f^{\nu,\mu,\ldots}(t,u) = \left(\frac{\partial}{\partial u_\nu}\right) \left(\frac{\partial}{\partial u_\mu}\right) \cdots f(t,u) $

die Ableitungen

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} u^{\prime\prime} &=& \sum_\nu f^\nu(t,u... ...^\prime u_\mu^\prime + f_{tt}(t,u) \\ &\ldots&\,. \end{array}\end{displaymath}

Wertet man die Ableitungen an der Stelle $ t=t_0$ aus, so kann man für glattes $ f$ durch Taylor-Entwicklung aus dem Anfangswert $ u(t_0)$ Approximationen von $ u(t)$, $ t=t_0+\Delta t$, beliebiger Ordnung konstruieren.
[Beispiele] [Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013