Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Laplace-Transformation einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Die Laplace-Transformation der Lösung des Anfangswertproblems

$\displaystyle u^{\prime\prime} + p u^\prime + q u = f(t),
\quad u(0) = a,\, u^\prime(0) = b
$

ist

$\displaystyle U(s) = \frac{1}{s^2+ps+q}\left(F(s)+as+ap+b\right)\,.
$

Die Lösung kann also durch Faltung berechnet werden,

$\displaystyle u = \underbrace{a\varphi^\prime + (ap+b)\varphi}_{u_h}+\underbrace{\varphi \star f}_{u_p}\,,
$

bzw. durch direkte Rücktransformation von $ U(s)$.

Bezeichnen $ \lambda$ und $ \varrho$ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $ \Phi^{-1} = s^2+ps+q$, so gilt

$\displaystyle \varphi(t) = \left\{\begin{array}{cr} \displaystyle{ \frac{e^{\la...
...\\ [-1ex]
\\
t e^{\lambda t}\,,\quad &\lambda = \varrho\,. \end{array}\right.
$

siehe auch:


[Erläuterungen] [Beispiele]

  automatisch erstellt am 19.  8. 2013