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Mathematik-Online-Lexikon:

Romberg-Algorithmus

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Die Genauigkeit der Trapezregel

$\displaystyle s_h^1 = h(f(a)/2+f(a+h)+\dots+f(b-h)+f(b)/2) $

lässt sich durch Extrapolation verbessern. Die rekursiv definierten Approximationen

$\displaystyle s_h^{j+1} = \frac{4^j s_{h/2}^j -s_h^j}{4^j -1} $

haben die Fehlerordnung $ \mathcal{O}(h^{2j+2})$ und können in einem Dreiecksschema generiert werden:

$ s_h^1$ $ \stackrel{-1/3}{\longrightarrow}$ $ s_h^2$ $ \stackrel{-1/15}{\longrightarrow}$ $ s_h^3$
  $ \nearrow$   $ \nearrow_{16/15}$  
$ s_{h/2}^1$ $ \longrightarrow$ $ s_{h/2}^2$    
  $ \nearrow_{4/3}$      
$ s_{h/4}^1$ $ \hdots$      
$ \vdots$        

Es werden sukzessive Diagonalen

$\displaystyle s^1_{2^{-m}h},\,s^2_{2^{1-m}h},\,\ldots,\, s^{m+1}_h $

hinzugefügt, bis mit dem zuletzt generierten Wert die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{Bild_Genauigkeit_Trapez.eps}

Bei den Trapezsummen können bereits berechnete Funktionswerte genutzt werden. Wie in der Abbildung angedeutet ist, gilt

$\displaystyle s^1_{h/2} = \left(s^1_h + h(f(a+h/2) + \cdots + f(b-h/2))\right)/2 \,. $

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 19.  8. 2013