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Mathematik-Online-Lexikon:

Flussintegral

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Der Fluss eines stetigen Vektorfeldes $ \vec{F}(x,y,z)$ durch eine Fläche $ {S}$ mit regulärer Parametrisierung

$\displaystyle D\ni (u,v) \mapsto \vec{r}(u,v) = \left(\begin{array}{c}x(u,v)\\ y(u,v)\\ z(u,v) \end{array}\right) \in {S} $

in Richtung der Normalen

$\displaystyle \vec{n} = \partial_u \vec{r} \times \partial_v \vec{r} $

ist

$\displaystyle \iint\limits_{S} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint\limits_{S} \vec{F... ...n}^\circ dS = \iint\limits_D \vec{F}(\vec{r}(u,v)) \cdot \vec{n}(u,v)\,dudv\,. $

Man bezeichnet dabei

$\displaystyle d\vec{S} = \vec{n}^\circ dS\,,\quad dS = \vert\vec{n}(u,v)\vert\, dudv\,, $

als vektorielles Flächenelement.

Bei gleicher Orientierung des Normalenvektors ist das Flussintegral unabhängig von der gewählten Parametrisierung. Die Umkehrung der Normalenrichtung bewirkt eine Änderung des Vorzeichens.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{a_flussintegral_bild}

Die Glattheitsvoraussetzungen an $ \vec{F}$ und $ \vec{r}(u,v)$ können abgeschwächt werden, indem man das Integral über einen geeigneten Grenzprozess definiert.

siehe auch:

[Beispiele]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013