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Mathematik-Online-Lexikon:

Parametrisierte Kurve

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Eine Kurve $ C\subseteq\mathbb{R}^n$ ist das Bild einer stetigen Abbildung $ p$ eines Parameterintervalls $ [a,b]\subset\mathbb{R}$:

$\displaystyle [a,b]\ni t \mapsto (p_1(t),\ldots,p_n(t))^{\operatorname t}\in C \,. $

Die Abbildung $ p$ wird als Parametrisierung von $ C$ bezeichnet und ist nicht eindeutig bestimmt. Für jede bijektive stetige Abbildung $ \varphi:[\tilde{a},\tilde{b}]\to[a,b]$ ist $ p\circ\varphi$ eine äquivalente Parametrisierung.

Eine Kurve mit $ p(a)=p(b)$ wird als geschlossen bezeichnet.

\includegraphics[width=.6\linewidth ]{a_kurve_1} \includegraphics[width=.3\linewidth ]{a_kurve_2}
geschlossene Kurve offene Kurve

Existiert eine stetig differenzierbare Parametrisierung mit $ p'(t)\ne 0$ für alle $ t\in [a,b]$, so bezeichnet man $ C$ als regulär und definiert den Tangentenvektor

$\displaystyle t_C = p' / \vert p'\vert \,. $

Ist $ p'(t)=0$, so kann sich wie in dem linken Beispiel die Richtung der Tangente abrupt ändern. Eine äquivalente reguläre Parametriseirung existiert in diesem Fall nicht.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013