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Mathematik-Online-Lexikon:

Reelle Fourier-Reihe

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Die reelle Fourier-Reihe einer reellen $ 2\pi$-periodischen Funktion $ f$ ist die Entwicklung nach dem Orthogonalsystem der Kosinus- und Sinusfunktionen:

$\displaystyle f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right) $

mit

$\displaystyle a_k$ $\displaystyle = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(t)\cos(kt)\,dt,\quad k\ge0\,,$    
$\displaystyle b_k$ $\displaystyle = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi f(t)\sin(kt)\,dt,\quad k\ge1\,.$    

Die Art der Konvergenz der Reihe hängt dabei von der Glattheit von $ f$ ab. Hinreichend für absolute Konvergenz ist beispielsweise, dass die Fourier-Koeffizienten $ a_k$ und $ b_k$ absolut konvergente Reihen bilden.

Auch eine konvergente Fourier-Reihe muss nicht an allen Stellen den Funktionswert als Grenzwert haben. An Unstetigkeitsstellen konvergiert die Reihe meist gegen den Mittelwert aus rechtsseitigem und linksseitigem Funktionsgrenzwert. Daher wird im Allgemeinen $ f(x) \sim \sum \cdots$ statt $ f(x)= \sum \cdots$ geschrieben.

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  automatisch erstellt am 22.  9. 2016