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Mathematik-Online-Lexikon:

Fourier-Reihen von geraden und ungeraden Funktionen

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Die Fourier-Reihe einer geraden $ 2\pi$-periodischen Funktion $ f$ ist eine reine Kosinus-Reihe:

$\displaystyle f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty a_k \cos(kx) $

mit

$\displaystyle a_k = \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi f(t)\cos(kt)\,dt,\quad k\ge 0\,. $

Entsprechend enthält die Fourier-Reihe einer ungeraden $ 2\pi$-periodischen Funktion nur Sinus-Terme:

$\displaystyle f(x) \sim \sum_{k=1}^\infty b_k \sin(kx) $

mit

$\displaystyle b_k = \frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi f(t)\sin(kt)\,dt,\quad k\ge 1\,. $

Beide Aussagen folgen unmittelbar aus der Definition der Fourier-Koeffizienten, da die entsprechenden Integrale aus Symmetriegründen null sind.

Beispiele:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  8. 2013