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Mathematik-Online-Lexikon:

Zusammenhang komplexer und reeller Fourier-Reihen

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Die komplexe Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x) =\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k e^{\mathrm{i}kx} $

lässt sich auch in Sinus-Kosinus-Form darstellen:

$\displaystyle f(x) =\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)\,. $

Für die Koeffizienten gelten dabei die Umrechnungsformeln

$\displaystyle a_0=2c_0,\quad a_k=c_k+c_{-k},\quad b_k=\mathrm{i}(c_k-c_{-k})\,,\quad(k\geq 1)\,, $

bzw.

$\displaystyle c_0=\frac{1}{2}a_0,\quad c_k=\frac{1}{2}(a_k -\mathrm{i}b_k)\,,\quad c_{-k}=\frac{1}{2}(a_k +\mathrm{i}b_k),\quad(k\geq 1)\,. $

Die Fourier-Reihe ist genau dann reell, wenn $ c_{-k}=\overline{c_k}$ gilt.

Beispiel:

[Erläuterungen] [Verweise]
  automatisch erstellt am 8. 11. 2013