Mathematik-Online-Lexikon: Formelsammlung: Differentialrechnung einer Veränderlichen

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	Formelsammlung: Differentialrechnung einer Veränderlichen

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Übersicht

Linearität	$(r\, f(x) + s\, g(x) )^\prime = r\,f^\prime(x) + s \,g^\prime(x)$

Produktregel	$(fg)^\prime = f^\prime \,g + f\, g^\prime$

Quotientenregel	$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)^\prime = \frac{f^\prime\, g - f \, g^\prime}{g^2}$

Kettenregel	$(f\circ g)^\prime(x) = f^\prime(g(x))\, g^\prime(x)$

Umkehrfunktion	$(f^{-1})^\prime(y) = \dfrac{1}{f^\prime(x)}\,, \quad y = f(x)$

Logarithmische Ableitung	$f^\prime(x) = f(x) \, (\ln f(x))^\prime\,,\quad f(x)>0$

Leibniz-Regel	$(fg)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} {n\choose k} f^{(n-k)} \, g^{(k)}$

$\begin{tabular}{p{4.5cm}cc\vert cc} Wichtige Ableitungen & % hline $f(x)$\ ... ...rtanh}\, x \; (\vert x\vert<1)$\ & $1/(1-x^2)$\ & & \\ % hline \end{tabular}$

Mittelwertsatz $\exists c \in (a,b)\,:\; f(b)-f(a) = f^\prime(c)\,(b-a)$

Verallgemeinerter
Mittelwertsatz
$\displaystyle\exists c \in (a,b) \,:\; \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}$

Regel von l'Hospital $\displaystyle \lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ $\left( \mbox{bei } \frac{0}{0} \mbox{ und } \frac{\infty}{\infty} \right)$

Satz von Taylor $\displaystyle f(x) = f(a) + f^\prime(a)\,(x-a) + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n + R_n$
$\displaystyle R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\, (x-a)^{n+1}$

Newton-Verfahren $\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$

Leibniz-Regel $\frac{d}{dt}\int\limits_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\, dx = \int\limits_{a(t)}^{b(t)} f_t(x,t)\, dx + b^\prime(t)\, f(b(t),t) - a^\prime(t)\, f(a(t),t)$

Extremum notwendig:

hinreichend für Minimum (Maximum): zusätzlich $f''(x) >0 \ (<0)$

Wendepunkt notwendig: ; hinreichend: zusätzlich $f'''(x) \neq 0$

(Autor: M. Reble)

[Verweise]

automatisch erstellt am 25. 1. 2006

Mittelwertsatz	$\exists c \in (a,b)\,:\; f(b)-f(a) = f^\prime(c)\,(b-a)$

Verallgemeinerter Mittelwertsatz	$\displaystyle\exists c \in (a,b) \,:\; \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}$

Regel von l'Hospital	$\displaystyle \lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ $\left( \mbox{bei } \frac{0}{0} \mbox{ und } \frac{\infty}{\infty} \right)$

Satz von Taylor	$\displaystyle f(x) = f(a) + f^\prime(a)\,(x-a) + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n + R_n$ $\displaystyle R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\, (x-a)^{n+1}$

Newton-Verfahren	$\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}$

Leibniz-Regel	$\frac{d}{dt}\int\limits_{a(t)}^{b(t)} f(x,t)\, dx = \int\limits_{a(t)}^{b(t)} f_t(x,t)\, dx + b^\prime(t)\, f(b(t),t) - a^\prime(t)\, f(a(t),t)$
Extremum	notwendig:
	hinreichend für Minimum (Maximum): zusätzlich $f''(x) >0 \ (<0)$

Wendepunkt	notwendig: ; hinreichend: zusätzlich $f'''(x) \neq 0$