Mathematik-Online-Lexikon: Integraldarstellung einer Lösung der Poisson-Gleichung im Raum

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	Integraldarstellung einer Lösung der Poisson-Gleichung im Raum

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Übersicht

Eine quadratisch integrierbare Lösung der Poisson-Gleichung

$\displaystyle - \Delta U = q$

besitzt die Integraldarstellung

$\displaystyle U(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi} \underset{\mathbb{R}^3}{\iiint} \frac{q(\vec{s})}{\vert\vec{s}-\vec{r}\vert}\, ds_1ds_2ds_3 \,.$

Dabei muss vorausgesetzt werden, dass $\vert q(\vec{r})\vert$ für $r\to\infty$ genügend schnell abfällt, um die Konvergenz des Integrals zu gewährleisten. Hinreichend ist beispielsweise, dass

$\displaystyle \vert q(\vec{r})\vert \leq \frac{c}{1+\vert\vec{r}\vert^2}\,.$

[Verweise]

automatisch erstellt am 19. 8. 2013