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Mathematik-Online-Lexikon:

Formelsammlung: Vektoranalysis, Differentiation

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 Gradient $ \operatorname{grad} U = (\partial_x U, \partial_y U , \partial_z U)^{\operatorname t}$

$ \operatorname{grad} \vec{F} = (\operatorname{grad} F_x, \operatorname{grad} F_y,\operatorname{grad} F_z)^{\operatorname t}$
    
 Divergenz $ \operatorname{div} \vec{F} = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z$
    
 Rotation $ \operatorname{rot} \vec{F} = \left(\begin{array}{c} \partial_y F_z-\partia... ...F_x - \partial_x F_z\\ \partial_x F_y - \partial_y F_x\\ \end{array}\right)$,      $ \left( \operatorname{rot} \vec{F} \right)_i= \sum\limits_{j,k = 1}^3 \varepsilon_{ijk} \ \partial_j F_k$

ebener Fall: $ \operatorname{rot} \vec{F} = \partial_xF_y-\partial_yF_x$
    
 Laplace-Operator $ \Delta U = \operatorname{div}(\operatorname{grad} U) = \partial^2_x U + \partial^2_y U + \partial^2_z U$
    
 Rechenregeln alle Operatoren sind linear

$ \operatorname{rot}(\operatorname{grad} U) = \vec{0}$

$ \operatorname{div}(\operatorname{rot} \vec{F}) = 0$

$ \operatorname{rot}(\operatorname{rot} \vec{F}) = \operatorname{grad}(\operatorname{div} \vec{F}) - \Delta \vec{F}$

$ \operatorname{grad}(U\,V)= U\,\operatorname{grad}V+V\,\operatorname{grad}U$

$ \operatorname{grad}(\vec{F}\cdot\vec{G}) = (\operatorname{grad}\vec{F})^{\operatorname t}\vec{G}+ (\operatorname{grad}\vec{G})^{\operatorname t}\vec{F}$

$ \operatorname{div}(U\vec{F}) = U\,\operatorname{div}\vec{F}+\vec{F}\cdot\operatorname{grad}U$

$ \operatorname{div}(\vec{F}\times\vec{G}) = \vec{G}\cdot\operatorname{rot}\vec{F} - \vec{F}\cdot\operatorname{rot}\vec{G}$

$ \operatorname{rot}(U\vec{F}) = U\,\operatorname{rot}\vec{F}-\vec{F} \times \operatorname{grad}U$
    
 Zylinderkoordinaten $ (x,y,z) = (\varrho \cos\varphi, \varrho \sin\varphi, z)\,,\; \varphi\in [0,2\pi)$
   $ \vec{e}_{\varrho} = \left(\begin{array}{c} \cos\varphi \\ \sin\varphi \\ 0... ...\ \vec{e}_{z} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}\right)$
   $ U(x,y,z) = \Phi(\varrho,\varphi,z)$
   $ \vec{F}(x,y,z) = \Psi_{\varrho}\,\vec{e}_{\varrho} +\Psi_{\varphi}\,\vec{e}_{\varphi} + \Psi_{z}\,\vec{e}_{z}$
   $ \displaystyle\operatorname{grad} U = \partial_\varrho \Phi\vec{e}_{\varrho} ... ...ac{1}{\varrho}\partial_\varphi\Phi\vec{e}_{\varphi} +\partial_z \Phi \vec{e}_z$
   $ \displaystyle\Delta U = \frac{1}{\varrho}\partial_{\varrho}(\varrho\partial_{\varrho}\Phi) +\frac{1}{\varrho^2}\partial^2_\varphi\Phi+\partial_z^2\Phi$
   $ \displaystyle\operatorname{div}\vec{F} = \frac{1}{\varrho}\partial_\varrho(\va... ...Psi_\varrho) +\frac{1}{\varrho}\partial_\varphi\Psi_\varphi + \partial_z \Psi_z$
   \begin{displaymath}\begin{array}{@{}l@{\,}c@{\,}l@{}}\displaystyle\operatorname{... ...rphi)- \partial_\varphi\Psi_\varrho\bigr)\vec{e}_z\end{array}\end{displaymath}

    

 Axialsymmetrische Felder $ \Phi$ bzw. $ \Psi$ hängen nur von $ \varrho=\sqrt{x^2+y^2}$ ab

$ \displaystyle\operatorname{grad} \Phi = \partial_\varrho \Phi\vec{e}_{\varrho}$

$ \displaystyle\Delta \Phi = \frac{1}{\varrho}\partial_{\varrho}(\varrho\partial_{\varrho}\Phi)$

$ \displaystyle\operatorname{div} (\Psi \vec{e}_{\varrho}) = \frac{1}{\varrho}\partial_\varrho(\varrho \Psi)$
   $ \displaystyle\operatorname{rot} (\Psi \vec{e}_{\varrho}) = \vec{0}$

$ \displaystyle\operatorname{div} (\Psi \vec{e}_{\varphi}) = 0$

$ \displaystyle\operatorname{rot} (\Psi \vec{e}_{\varphi}) = \frac{1}{\varrho}\,\partial_\varrho(\varrho\Psi)\,\vec{e}_z$
    
 Kugelkoordinaten $ (x,y,z) = (r\cos\varphi\sin\vartheta,r\sin\varphi\sin\vartheta, r\cos\vartheta)\,,\; \varphi\in [0,2\pi)\,,\; \vartheta\in [0,\pi]$
   $ \vec{e}_{r} = \left(\begin{array}{c} \cos\varphi \sin\vartheta\\ \sin\varp... ... \left(\begin{array}{c} -\sin\varphi \\ \cos\varphi \\ 0 \end{array}\right)$
   $ U(x,y,z) = \Phi(r,\vartheta,\varphi)$

$ \vec{F}(x,y,z) = \Psi_{r}\,\vec{e}_{r} + \Psi_{\vartheta}\,\vec{e}_{\vartheta} + \Psi_{\varphi}\,\vec{e}_{\varphi}$
   $ \displaystyle\operatorname{grad} U = \partial_r\Phi\vec{e}_r + \frac{1}{r}\p... ...ec{e}_\vartheta + \frac{1}{r\sin\vartheta}\partial_\varphi\Phi\vec{e}_\varphi$
   $ \displaystyle\Delta U = \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\partial_r\Phi) + \frac{1}... ...rac{1}{r^2\sin\vartheta}\partial_\vartheta(\sin\vartheta\partial_\vartheta\Phi)$
   $ \displaystyle\operatorname{div}\vec{F} = \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2\Psi_r) +... ...phi + \frac{1}{r\sin\vartheta}\partial_\vartheta(\sin\vartheta\Psi_\vartheta)$
   \begin{displaymath}\begin{array}{@{}l@{\,}c@{\,}l@{}}\displaystyle\operatorname{... ...ta)-\partial_\vartheta\Psi_r \bigr)\vec{e}_\varphi\end{array}\end{displaymath}
    
 Radialsymmetrische Felder $ \Phi$ bzw. $ \Psi$ hängen nur von $ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ab

$ \displaystyle\operatorname{grad} \Phi = \partial_r \Phi\vec{e}_{r}$

$ \displaystyle\Delta \Phi = \frac{1}{r^2}\partial_{r}(r^2\partial_{r}\Phi)$

$ \displaystyle\operatorname{div} (\Psi \vec{e}_{r}) = \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2 \Psi)$
   $ \displaystyle\operatorname{rot} (\Psi \vec{e}_{r}) = \vec{0}$

(Autor: Marcus Reble)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 30.  1. 2006