Mathematik-Online-Lexikon: Formelsammlung: Fourier-Reihen

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	Formelsammlung: Fourier-Reihen

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	Reelle Fourier-Reihe	$\displaystyle f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \Big(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)\Big)$ mit $\displaystyle a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(kt)\,dt\,, \quad k \geq 0$ $\displaystyle b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(kt)\,dt\,, \quad k \geq 1$

	Komplexe Fourier-Reihe	$\displaystyle f(x) \sim \sum\limits_{k\, \in \, \mathbb{Z}} c_k e^{\mathrm{i}kx}$ mit $\displaystyle c_k = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-\mathrm{i}kt}\,dt$

	Umrechnungsformeln für Fourier-Koeffizienten	$a_0 = 2c_0\,, \quad a_k = c_k + c_{-k}\,, \quad b_k = \mathrm{i}(c_k - c_{-k}) \quad\textrm{für}\ k \geq 1$ $c_0 = a_0/2\,, \quad c_k = (a_k - \mathrm{i}b_k)/2 \,, \quad c_{-k} = (a_k + \mathrm{i}b_k)/2 \quad\textrm{für}\ k \geq 1$

	Symmetrien	gerade: $\displaystyle b_k = 0,\quad a_k = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(t)\cos(kt)\,dt,\quad c_k = c_{-k}$ ungerade: $\displaystyle a_k = 0,\quad b_k = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(t)\sin(kt)\,dt,\quad c_k = - c_{-k}$

	Skalarprodukt, Norm	$\displaystyle\langle f,g \rangle_{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \overline{g(x)}\,dx$ , $\Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \langle f,f \rangle_{2\pi}$

	Fourier-Projektion	$\displaystyle (p_n f)(x) = \sum\limits_{\vert k\vert \leq n} \langle f,e^{\mathrm{i}kt} \rangle_{2\pi} e^{\mathrm{i}kx}$ $\phantom{(p_n f)(x)}$ $\displaystyle = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \frac{\sin\big((n+1/2)(x-t)\big)}{\sin\big((x-t)/2\big)} \,f(t)\,dt$

	Konvergenzrate	$\Vert f-p_nf\Vert _{2\pi} \leq (n+1)^{-k} \, \Vert f^{(k)}\Vert _{2\pi}$

	Parseval-Identität	$\displaystyle\Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\vert f(t)\vert^2\,dt = \sum\limits_{k\,\in\,\mathbb{Z}} \vert c_k\vert^2$ $\phantom{\displaystyle\Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\p... ...dfrac{a_0^2}{4}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)$

(Autor: Marcus Reble)

automatisch erstellt am 30. 1. 2006