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Mathematik-Online-Lexikon:

Formelsammlung: Fourier-Reihen

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 Reelle Fourier-Reihe $ \displaystyle f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \Big(a_k \cos(kx) + b_k \sin(kx)\Big)$    mit

$ \displaystyle a_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(kt)\,dt\,, \quad k \geq 0$

$ \displaystyle b_k = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(kt)\,dt\,, \quad k \geq 1$
    
 Komplexe Fourier-Reihe $ \displaystyle f(x) \sim \sum\limits_{k\, \in \, \mathbb{Z}} c_k e^{\mathrm{i}kx}$     mit      $ \displaystyle c_k = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-\mathrm{i}kt}\,dt$
    
 Umrechnungsformeln für Fourier-Koeffizienten $ a_0 = 2c_0\,, \quad a_k = c_k + c_{-k}\,, \quad b_k = \mathrm{i}(c_k - c_{-k}) \quad\textrm{für}\ k \geq 1$

$ c_0 = a_0/2\,, \quad c_k = (a_k - \mathrm{i}b_k)/2 \,, \quad c_{-k} = (a_k + \mathrm{i}b_k)/2 \quad\textrm{für}\ k \geq 1$
    
 Symmetrien $ f$ gerade:      $ \displaystyle b_k = 0,\quad a_k = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(t)\cos(kt)\,dt,\quad c_k = c_{-k}$

$ f$ ungerade: $ \displaystyle a_k = 0,\quad b_k = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(t)\sin(kt)\,dt,\quad c_k = - c_{-k}$
    
 Skalarprodukt, Norm $ \displaystyle\langle f,g \rangle_{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \overline{g(x)}\,dx$ ,      $ \Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \langle f,f \rangle_{2\pi} $
    
 Fourier-Projektion $ \displaystyle (p_n f)(x) = \sum\limits_{\vert k\vert \leq n} \langle f,e^{\mathrm{i}kt} \rangle_{2\pi} e^{\mathrm{i}kx}$

$ \phantom{(p_n f)(x)}$ $ \displaystyle = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \frac{\sin\big((n+1/2)(x-t)\big)}{\sin\big((x-t)/2\big)} \,f(t)\,dt$
    
 Konvergenzrate $ \Vert f-p_nf\Vert _{2\pi} \leq (n+1)^{-k} \, \Vert f^{(k)}\Vert _{2\pi}$
    
 Parseval-Identität $ \displaystyle\Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\vert f(t)\vert^2\,dt = \sum\limits_{k\,\in\,\mathbb{Z}} \vert c_k\vert^2$

$ \phantom{\displaystyle\Vert f\Vert _{2\pi}^2 = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\p... ...dfrac{a_0^2}{4}+\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)$
    
(Autor: Marcus Reble)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 30.  1. 2006